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数学的思考力

みなさんこんにちは。東進衛星予備校大分金池校の小野です。

本日は先週の続き、「数学超絶難問」からです。

先週お話しした問題はこちらです。

「AとBの二人がいて、所持金はAが3円、Bが1円です。
この二人が次のようなゲームをします。
ゲームは公平で、毎ゲームでどちらが勝つ確率も1/2です。
そして、毎ゲームごとに勝者は敗者から1円ずつ受け取ります。
このゲームをどちらかの所持金が0円になるまで続けるとき、AとBの、対戦に勝つ確率の比を求めよ。」

先週はヒントとして、もう少し簡単な例題と、「Aが勝つ確率をpとすると…」といったことを書かせて頂きました。
それでは、解答です。




ヒントの誘導に従って頂き、まずAが勝つ確率を p とすると、Bが勝つ確率は (1-p) ですね。

(1) Aが1ゲーム目に勝ってしまえばその時点でゲーム終了です。

(2) Aが1ゲーム目に負けたとき、
 (a) 2ゲーム目に勝つと、ゲーム開始時の状態に戻るので、その後勝つ確率は p です。
 (b) 2ゲーム目にも負けると、Aはゲーム開始時のBと同じ状況になる(BはAと同じ状況になる)ので、ここからAが勝つ確率はゲーム開始時のBが勝つ確率と等しくなり、(1-p) となります。

したがって、Aが勝つ確率 p は

 p = 1/2 × 1 + 1/2 × 1/2 × p + 1/2 × 1/2 × (1-p)

と表すことができ、これを解くと、

 p = 3/4

とわかります。よってBが勝つ確率は 1 - 3/4 = 1/4 ですから、AとBの勝つ確率の比は

 3/4 : 1/4 = 3:1

となります。

いかがですか?前回の例題と合わせて読んでみると「超絶」難問というほどでもなかったのではないでしょうか。

ちなみにこの問題、さらに2段階の発展があり、次の段階は二人の所持金が m 円と n 円のときの勝つ確率の比。そして最終段階では毎ゲームで各々が勝つ確率は不公平で、Aが勝つ確率は a 、Bが勝つ確率は b (ただしa+b=1)として互いの勝つ確率の比を求める、という問題に発展します。

ただ、考えを構築するのには段階が必要で、その段階を正しく踏んでいけば解決策は見つかるものなのだということにお気づきいただければ、と思うのです。

数学の力をつけるには、こうした数学的思考力と計算遂行力の2つが大きな柱として大切です。

お子様は考えるのを面倒くさがっていませんか?
単純な計算ドリルを「こんなのできる」と避けてはいませんか?
その割に計算ミスが多くありませんか?

先日の中3生の親子勉強会では

「夢を見つける為に勉強する」

とお話ししました。

夢を見つける為の大切な土台作り。

そのための基本動作を疎かにすることがないよう指導して参りたく思います。

東進衛星予備校大分金池校 小野 愼介

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