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数学パズル

みなさんこんにちは。東進衛星予備校大分金池校の小野です。

皆さんは本屋さんに行ったときに決まった経路というものはお持ちでしょうか?

私の場合

小説→ビジネス書→学習参考書→自然科学専門書

の順に必ず廻る習慣があります。

先日は東野圭吾の「マスカレード・イブ」目的だったので、小説はこれに決定済み。まず平積みされている場所のみ確認し、以下いつもの経路で見て回りました。

そして専門書のコーナーで目に入ったのが、

「数学超絶難問〜時代を超えて天才の頭脳に挑戦!〜」

という本。

………ヤバい、興味が止まらない………

ということで、その日はマスカレード・イブとこの本の2冊を購入。

アルキメデスからニュートン、オイラーまで様々な人物が取り組んだ歴史的難問(≠奇問)が掲載されていて、大いに楽しんでいます。

そこで今回は先週の首藤の記事(水平思考)に引き続き、私からは簡単な確率パズルの問題を。


「AもBも金貨をそれぞれ2枚持っています。
AかBのどちらかがサイコロを振って、1〜4の目ならAの勝ち、5か6ならBの勝ちで、勝者は敗者から金貨を1枚もらいます。
Bの金貨が0枚となって対戦が終わる確率を求めよ。」

それでは早速簡単に解答例を示します。

まずAが対戦に勝つ確率(つまりBが0枚になる確率)をpとします。
Aが2連勝すればそれで対戦終了。
1勝1敗(A○→B○またはB○→A○)ならはじめの状態に戻っただけなので、その後にAが勝つ確率はやはりp。
Aが2敗すればAの負けで対戦終了。

これらを式にすると、(「2/3」は「3分の2」を表します)

p = (2/3×2/3) + (2/3×1/3 + 1/3×2/3 ) × p

これを解いて

p = 4/5

となります。

さて、ここまでがウォーミングアップ。次が本題です。
次の問題をお子様と一緒にお考えになってみてください。

「AとBの二人がいて、所持金はAが3円、Bが1円です。
この二人が次のようなゲームをします。
ゲームは公平で、毎ゲームでどちらが勝つ確率も1/2です。
そして、毎ゲームごとに勝者は敗者から1円ずつ受け取ります。
このゲームをどちらかの所持金が0円になるまで続けるとき、AとBの、対戦に勝つ確率の比を求めよ。」

最初の問題とよく似た設定だな、とはお気づきになると思います。
設定が似ているのですから、アプローチも似ているはずですね。
Aが勝つ確率をpとすると、Bが勝つ確率は…後は是非皆さんでお考えになってください!

東進衛星予備校大分金池校 小野 愼介

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